群とは抽象的には掛け算と割り算がうまくできる集合のことですが、具体的な対象としては、直交行列全体の集合や、1 から n までの整数の置換全体の集合のように、ある集合や空間上の変換として現れることが多く、様々な物や現象の対称性を数学的に記述するものです。

ある群の持つ対称性や性質を、線形空間上の線形変換として表すことを表現といいます。表現論とは、文字通り表現に関連した研究を行う分野のことであり、

などが目標として挙げられます。

一口に「表現論」といってもその領域は広く、代数・幾何・解析・数理物理など、数学の関わるほとんど全ての分野と共有点を持ちますが、私は群の表現から構成される微分方程式系に興味を持っています。近年、私はその中でも特にWhittaker 関数という、ある表現から定まる微分方程式系の解空間上に実現される実簡約型リー群の表現の組成列について研究を行っています。

この研究に関しては、標準 Whittaker (g,K)-加群と呼ばれる表現を定義し、その構造解析を行っています。その結果、まずは構造が簡単な場合である、無限小指標が generic なときの構造を決定しました。無限小指標が integral な場合についても、U(n,1) や Spin(n,1)、SL(3,R)、Sp(2,R) といった低階数の群の場合に構造を完全に決定しました。

参考文献